1．集合

把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合，集合常用大写字母A、B、C……表示，集合里的各个对象叫做集合的元素，通常用小写字母a、b、c……表示．

2．集合与元素之间的关系

当某元素a是集合A中的元素时，记作a∈A，当元素a不是A的元素时，记作aA；a∈A或aA二种关系只有一种成立

3．集合的特征

集合中的元素是：1)确定的；2)无序的；3)没有重复现象的

4．集合的表示法

(1)列举法：

把集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法叫列举法．

例如：大于0小于10的全体偶数的集合A可表示为A={2，4，6，8}．

(2)描述法：

把集合中所有元素的共同属性以文字或数学表达式的方式描述出来，写在大括号内表示集合的方法叫描述法．



(3)图示法．

　

5．有限集

含有有限个元素的集合叫做有限集．

　

6．无限集

含有无限个元素的集合叫做无限集．

　

7．常用数集

自然数集N，整数集Z(或J)、有理数集Q、实数集R、复数集C．Z?表示正整数的集合，Z?表示负整数的集合，类似地可规定Q?、Q?、R?、R??等．

8．空集

不含任何元素的集合叫做空集，记作．

　

9．全集



10．相等的集合



11子集



12．真子集



　

13．交集



　

14．并集



　

15．补集



　

16．奇数集

全体奇数的集合简称奇数集，记作{x│x=2n?1，n∈Z}．

　

17．偶数集

全体偶数的集合简称偶数集，记作{x│x=2n，n∈Z}．

1．|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式



　

2．一元二次不等式

含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是

ax2+bx+c＞0，或ax2+bx+c＜0 (a≠0)．

　

3．一元二次不等式的解法

设△=b??4ac，且a＞o．



二次项系数是负数（即a＜0）的不等式，可以先化成二次项系数是正数的不等式，再求它的解集．

1. 映射

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B及对应法则f），叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B．

2. 一一映射

若在映射f：A→B作用下，集合A中不同元素在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么f：A→B叫做A到B上的——映射．

3. 象和原象

若给定了集合A到集合B的映射f：A→B，那么与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象．

象与原象的关系记作，f：a→b，或b=f(a)

4. 函数

如果在某变化过程中有两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么变量y就叫做变量x的函数，x叫做自变量．常用y=f(x)表示x与y的函数关系．

从映射的概念知道，函数就是非空的数的集合A到非空的数的集合B的映射．

5. 函数的表示法

(1)解析法：用一个或几个数学式子来表示函数关系的方法叫解析法．

(2)列表法：把自变量x的一系列可取值和函数y的对应值列成一个表格，这种表示函数的方法称为列表法．

(3)图象法：把自变量x的值和对应的函数值y=f(x)分别作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标，由这些点连成的曲线就是函数y=f(x)的图象，这种表示函数的方法叫做图象法．

6. 函数的定义域

函数y=f(x)，自变量x的取值范围叫函数的定义域．

7. 区间

设a、b是两个实数，且a＜b，把满足a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；把满足a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；把满足a≤x＜b，a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]，这里的实数a与b叫做相应区间的端点．

实数集R也可以用区间表示为(-∞，+∞)．“+∞”读作正无穷大，“-∞”读作负无穷大，把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为：

[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞，b]，(-∞，b)．

8. 增函数

对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．

9. 减函数

对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．

10. 函数的单调性

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数（或减函数），就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间．则函数y=f(x)称为这一区间上的单调函数．

11. 函数的奇偶性

对于函数f(x)

①如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

②如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

定理：

奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形．

对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，则函数y=f(x)称为周期函数．

不为零的常数T叫做这个函数的周期．

13．函数的极值性
若函数y=f(x)在xo及xo的附近有意义，并且f(xo)比xo附近所有各点的函数值都大（或都小），则称f(xo)是f(x)的一个极大值（或极小值）．极大值与极小值统称为函数的极值．

14．函数的最值性
若函数y=f(x)在xo的函数值f(xo)比定义域内其他所有各点的函数值都不小（或都不大），则称f(xo)是函数f(x)的最大值（或最小值）．最大值与最小值统称为函数的最值．

15．函数的有界性
若存在一个正数M，使得对于任何x∈A，都有│f(x)│≤M，则称函数f(x)在A上有界．M称为函数f(x)的一个界．

函数有界时，界不是唯一的，若M是一个界，那么M+1也是一个界．

16．函数的连续性


若函数f(x)在区间(a、b)内每一点都连续，则称函数f(x)在区间(a、b)内连续．

17．反函数


我们一般用x表示自变量，用y表示函数，因此对调函数式x=f?1(y)中字母x、y．把它改写成y=f?1(x)．

定理：函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f?1(x)的图象关于直线y=x对称．

函数y=f(x)的定义域，是它的反函数y=f?1(x)的值域；函数y=f(x)的值域，是它的反函数y=f?1(x)的定义

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四．根式、分数指数幂、对数
1.根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．





　

2.方根
如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数就叫做a的n次方根．

即若有 ，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数．





负数没有偶次方根，零的任何次方根都是零

3.分数指数幂
(1)正数的正分数指数幂的意义是



(2)正数的负分数指数幂的意义是



零的正分数指数幂是零，零的负分数指数幂没有意义．

4.有理指数幂的运算性质


5.对数
如果的b次幂等于N，就是 那么数b就叫做以a为底N的对数，记作

其中a叫做底数，N叫做真数，式子叫做对数式．

6.常用对数与自然对数
底数为10的对数叫做常用对数，N的常用对数记作．

在科学技术中常使用以无理数e = 2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫做自然对数，N的自然对数记作lnN(N＞0)．

7.对数的性质
(1) 负数和零没有对数．

(2) 1的对数是零． 即

(3) 底数的对数等于1． 即

8.对数的运算法则




9.常用对数表
一个正数的常用对数，（具有一定精度的近似值）可以利用“常用对数表”或电子计算器求得．

一个正数的常用对数：

(1)可以写成一个整数（正整数，零或负整数）加上一个正的纯小数（或者零）的形式．

整数部分叫做这个对数的首数，正的纯小数（或者零）部分叫做这个对数的尾数．

(2)只有小数点位置不同的数，它们的对数的尾数都相同．

求一个正数的首数时，用科学记数法把这个数写成的形式，其中n是整数，n就是首数．

对数的尾数可以在“对数表”的对数尾数里查到．

例如：





10.对数恒等式和换底公式
对数恒等式：

换底公式：

五、幂函数、指数函数、解斜三角形

1.幂函数
幂函数

　

函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理数n的情况）．

2.幂函数的定义域
幂函数（n是有理数）的定义域：

(1) 当n为正整数时，

(2) 当n为零或负整数时，x∈R，x≠0；





义的实数x的集合．

3.幂函数的图象


　

4幂函数的性质


(1) 当n＞0时

①图象都通过（0，0）、（1，1）点；

②在第一象限内是增函数．

(2) 当n＜0时

①图象都过（1，1）点；

②在第一象限内是减函数；

③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．

5指数函数


(1) 当n＞0时

①图象都通过（0，0）、（1，1）点；

②在第一象限内是增函数．

(2) 当n＜0时

①图象都过（1，1）点；

②在第一象限内是减函数；

③在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．

6.指数函数的定义域



7.指数函数的值域

指数函数的值域是，．

8.指数函数的性质



(1)当a ＞ 1时，

①y ＞ 0；

②当x =0时，y=1；

③当x ＞0时，y ＞1，x ＜0时，0＜y ＜1；

④在上是增函数．

(2)当0＜a＜ 1

①y ＞ 0；

②当x =0时，y=1；

③当x ＞0时，0＜y＜1，x ＜0时，y ＞1；

在上是减函数．

　

9.对数函数

函数叫做对数函数．

10对数函数的定义域

对数函数的定义域是，

11对数函数的值域

对数函数的值域是，

12.对数函数的图象


13对数函数的性质



(1)当a＞1时，

①x ＞0，即0和负数无对数；

②当x=1时，y=0；

③当x ＞1时，y＞0；当0＜ x ＜1时，y ＜0；

④在（0，+∞）上是增函数．

(2)当0＜a＜1时，

①x ＞0，即0和负数没有对数；

②当x=1时，y=0；

③当x ＞1时，y ＜ 0；当0＜ x ＜1时，y ＞0；

④在（0，+∞）上是减函数．

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六 指数方程和对数方程

     1.指数方程: 在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．

2.指数方程的类型和解法:
(1)最简方程：

当m ＞0时，

当时，无解．

(2)

求出f(x)=g(x)的解，即为原方程的解．

(3)

利用换元法：令，求出f(y)=0的解．

再解，求出x，即为原方程的解．



两边同时取对数，化为



然后求出解x．

(5)在底数里含有未知数，此时情况复杂，一般用两边取对数的方法．

3.对数方程: 在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程．

4.对数方程的解法
(1) 最简方程：

(2)

．

(3)f(logax)=0（a＞0,a≠1）利用换元法：令解，





利用换底公式，化为



利用同底对数型(2)，解出x．

(5)底数里含有未知数情况复杂，通常运用换底公式求解．